Átomo de Börh

Böhr describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. El modelo atómico de Bohr partía conceptualmente del modelo atómico de Rutherford y de las incipientes ideas sobre cuantización que habían surgido unos años antes con las investigaciones de Max Planck y Albert Einstein.

En este modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo, ocupando la órbita de menor energía posible, o la órbita más cercana al núcleo posible. El electromagnetismo clásico predecía que una partícula cargada moviéndose de forma circular emitiría energía por lo que los electrones deberían colapsar sobre el núcleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podían mover en órbitas específicas, cada una de las cuales caracterizada por su nivel energético. Cada órbita puede entonces identificarse mediante un número entero n que toma valores desde 1 en adelante. Este número "n" recibe el nombre de Número Cuántico Principal.

Bohr supuso además que el momento angular de cada electrón estaba cuantizado y sólo podía variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a las cuales se hallaba del núcleo cada una de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno.

Estos niveles en un principio estaban clasificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q". Posteriormente los niveles electrónicos se ordenaron por números. Cada órbita tiene electrones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que liberar y por esa razón el electrón va saltando de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su órbita de origen.

Postulados de Börh
1.- Los electrones giran alrededor del núcleo en orbitas circulares estables, sin emitir o absorber energía radiante.

Sabemos que |Fvector centrípeta| = {[me (v) (v)] r} |Fvector electrostática| = {[K (e) (e)]/(r) (r)}

2.- De las infinitas órbitas dadas por la ecuación, sólo son posibles aquellas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de la cantidad h/2π

r= {[(n) (n) (h) (h)]/Kme (e) (e)}

Ecuación que nos indica los valores de los radios de las órbitas del electrón dependen del número cuántico n, lo que equivale a decir que sólo pueden existir unas determinadas órbitas o lo que es mismo afirmar que los radios de las órbitas electrónicas están cuantizados.

3.- Cuando el electrón pasa de una órbita a otra absorbe o emite energía en forma de fotones, en una cantidad igual a: ΔE=hv

E= (-K^2mee⁴)/2h²*1/n²

Postulados de Böhr
Postulado I

Un átomo hidrogenoide consta de un núcleo central con carga +Ze y de un electrón de carga –e girando alrededor de un núcleo en una órbita circular de radio r con velocidad constante.
Un electrón que gira alrededor de un núcleo en una órbita de radio r y con velocidad v se encuentra sujeto a la fuerza de atracción electrostática que el núcleo de carga +Ze ejerce sobre él:

Fe= {[(Ze) (-e)]/(r) ^2}= {[Ze^2]/r^2}
Y a la fuerza centrifuga:
Fc= [(mv^2)/r]

A fin de que la orbita sea estable estas órbitas deben compensarse, y cumplirse que:

[(mv^2)/r] - [Ze^2]/r^2=0 (Ec1)

En la ecuación anterior hay dos incógnitas, r y v, por lo que para conocerlas es necesario encontrar otra relación entre ellas. Esta se obtiene del segundo postulado de Böhr el cual impone una condición sobre el momento angular del electrón.
Postulado II

El electrón recorre una determinada órbita n con momento angular:

L= mvr = n (h/2π)= nђ n=1,2,… (Ec2)

El segundo postulado implica que el momento angular del electrón está cuantizado, es decir, que sólo puede adquirir determinados valores caracterizados por el número cuántico n. La ecuación 2 se puede explicar utilizando una simple análogia entre el movimiento de la partícula y una onda estacionaria montada sobre la órbita, como se explica a continuación.
Para que se establezca una onda estacionaria sobre el perímetro 2πr de la órbita circular, ésta debe de ser tal que quepa un número entero de longitudes de onda:
2πr = nλ n= 1,2,… (Ec3)

Si n no fuera un número entero, las posiciones de los nodos cambiarían en cada vuelta y la onda no seria estacionaria. Aplicando la relación de Broglie a la ecuación 3 se tiene que:

2πr= n (h/p) = nh/mv
O sea:

mvr=nђ

Que es justamente el segundo postulado.
Resolviendo el sistema formado formado por las ecuaciones 1y2 se pueden obtener expresiones para las incógnitas rn y vn correspondientes al radio y a la velocidad del electrón cuando ocupa la órbita n:

rn= (n^2 ђ^2)/(Ze^2m) (Ec4)

y

vn= (n ђ)/mrn=(Ze^2m)/(n ђ) (Ec5)

Asi mismo se puede determinar la energia total En del electrón en la órbita n.

En(total)= En(cinética)+En(potencial)

En(total)= 1/2mv^2-Ze^2/rn
De la ecuación 1

mv^2n=[Ze^2]/r^2

de modo que

En= -1/2[(Ze^2)/rn] (Ec6)

Se observa que la energía total es la mitad de la potencial. Esta propiedad, llamada teorema del virial, es válida para todos los sitemas en los cuales el potencial es una función homogénea de grado -1 en las coordenadas.

Substituyendo rn por su valor de la (Ec 4) se tiene, finalmente la expresion para la energia:
En=-{[(e^4m)/ (2ђ^2)] [Z^2/n^2]} (Ec 7)

Es interesante notar que las energias En estàn cuàntizadas. Además, todas son negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anerior es concecuencia de que el 0 de energía potencial se ha escogido como el estado en que el electrón y el núcleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energia en cualquier estado ligado es menor que el estado separado. Las energias en orden creciente corresponden al orden creciente del número cuántico n: los En son los niveles de energia.
Postulado III

Un electrón que se mueva en una de esas órbitas permitidas no irradia energía electromagnética, aunque está siendo acelerado constantemente por las fuerzas atractivas al núcleo. Por ello, su energia total E permanece constante.


Postulado IV

La energía liberada al caer el electrón desde una órbita a otra de menor energía se emite en forma de fotón, cua frecuencia viene dada por la ecuación de Plank.
ΔE=E2-E1=h*v

Donde

E2 es la órbita más alejada del núcleo

E1 es la órbita más cercana al núcleo

Radio de Börh

r=rBZn² radio del átomo

rB=0.5Angstroms(z) Radio del átomo

E=Ec+Ep

E=1/2 mev²+((kQq)/r)

E=1/2 mev²+((kQ(-e)/r)

E=1/2mev²-Ke/r

Fe=Fc

[(Kqq)/r²]=[(mv²)/r]

[(k(e)(e))/r²]=[(mv²)/r]

mvr= movimiento angular o de movimiento

mvr=[(nh)/2π]

h=6.61*10^(-34)N.m número de plank

meVr=nђ

r=[(nђ)/(mev)]

ke²=meV²(nђ/meV)

Ke²=vnђ

V=[(nђ)/me(ke²/nђ)

r=[(n²h²)/(meKe²)]

r= 0.5 Å